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閱讀：14發(fā)布時間：2024-11-23
摘要：將線性代數概念應用到實際問題中scipy.linalg 使用 Python 和 NumPy處理向量和矩陣 使用線性系統(tǒng)模擬實際問題 使用求解線性系統(tǒng) scipy.linalg
本文分享自華為云社區(qū)《使用scipy.linalg在Python中使用線性系統(tǒng)》，作者：Yuchuan。
線性代數廣泛應用于各種學科，一旦您使用向量和線性方程等概念組織信息，您就可以用它來解決許多問題。在Python中，與該主題相關的大多數例程都在中實現scipy.linalgpython創(chuàng)建矩陣，它提供了非?？焖俚木€性代數功能。
尤其是，線性系統(tǒng)在模擬各種現實世界問題中發(fā)揮著重要作用，并scipy.linalg提供了以有效方式研究和解決這些問題的工具。
在本教程中，您將學習如何：
讓我們開始吧！
入門scipy.linalg
SciPy是一個用于科學計算的開源Python庫，包括用于科學和工程中常見任務的幾個模塊，例如線性代數、優(yōu)化、積分、插值和信號處理。它是SciPy堆棧的一部分，其中包括其他幾個用于科學計算的包，例如NumPy、Matplotlib、SymPy、IPython和pandas。
線性代數是數學的一個分支，涉及線性方程及其使用向量和矩陣的表示。它是用于多個工程領域的基礎學科，也是深入了解機器學習的先決條件。
scipy.linalg包括用于處理線性代數問題的多種工具，包括用于執(zhí)行矩陣計算的函數，例如行列式、逆矩陣、特征值、特征向量和奇異值分解。
在本教程中，您將使用from的一些函數scipy.linalg來解決涉及線性系統(tǒng)的實際問題。為了使用scipy.linalg，您必須安裝和設置SciPy庫，您可以使用AnacondaPython發(fā)行版和conda包和環(huán)境管理系統(tǒng)來完成。
注意：要了解有關Anaconda和conda的更多信息，請查看在Windows上設置Python進行機器學習。
首先，創(chuàng)建一個conda環(huán)境并激活它：
$condacreate--namelinalg$condaactivatelinalg激活conda環(huán)境后，您的提示將顯示其名稱linalg.然后你可以在環(huán)境中安裝必要的包：
(linalg)$condainstallscipyjupyter執(zhí)行此命令后，系統(tǒng)應該需要一段時間才能確定依賴項并繼續(xù)安裝。
注意：除了SciPy，您還將使用JupyterNotebook在交互式環(huán)境中運行代碼。這樣做不是強制性的，但它有助于處理數值和科學應用程序。
有關使用JupyterNotebooks的復習，請查看JupyterNotebook：簡介。
如果您更喜歡使用不同的Python發(fā)行版和pip包管理器來閱讀本文，請展開下面的可折疊部分以了解如何設置您的環(huán)境。
設置環(huán)境使用pip顯示隱藏
在打開JupyterNotebook之前，您需要注冊condalinalg環(huán)境，以便您可以使用它作為內核來創(chuàng)建Notebook。為此，在linalg激活環(huán)境的情況下，運行以下命令：
(linalg)$python-mipykernelinstall--user--namelinalg現在您可以通過運行以下命令打開JupyterNotebook：
$jupyternotebook在瀏覽器中加載Jupyter后，通過點擊創(chuàng)建一個新的筆記本電腦新→linalg，如下圖所示：
內的筆記本電腦，你可以測試是否安裝成功通過導入的scipy包：
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In[1]:importscipy現在您已經完成了環(huán)境的設置，您將看到如何在Python中使用向量和矩陣，這是使用scipy.linalg線性代數應用程序的基礎。
使用NumPy處理向量和矩陣
甲矢量是用來表示物理量同時具有大小和方向的數學實體。它是解決工程和機器學習問題的基本工具，就像矩陣一樣，用于表示向量變換等應用程序。
NumPy是Python中處理矩陣和向量的庫，用于處理scipy.linalg線性代數應用程序。在本節(jié)中，您將了解使用它創(chuàng)建矩陣和向量并對其執(zhí)行操作的基礎知識。
要開始處理矩陣和向量，您需要在JupyterNotebook中做的件事是導入numpy.通常的方法是使用別名np：
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In[2]:importnumpyasnp為了表示矩陣和向量，NumPy使用一種稱為ndarray.
要創(chuàng)建ndarray對象，您可以使用np.array()，它需要一個類似數組的對象，例如列表或嵌套列表。
例如，假設您需要創(chuàng)建以下矩陣：
要使用NumPy創(chuàng)建它，您可以使用np.array()，提供一個包含矩陣每一行元素的嵌套列表：
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In[3]:A=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])...:AOut[3]:
array([[1,2],[3,4],[5,6]])您可能會注意到，NumPy提供了矩陣的可視化表示，您可以在其中識別其列和行。
值得注意的是，NumPy數組的元素必須是相同類型的。您可以使用以下方法檢查NumPy數組的類型.dtype：
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In[4]:A.dtypeOut[4]:dtype('int64')由于的所有元素A都是整數，因此數組是用type創(chuàng)建的int64。如果元素之一是float，則將使用type創(chuàng)建數組float64：
In[5]:A=np.array([[1.0,2],[3,4],[5,6]])...:AOut[5]:array([[1.,2.],[3.,4.],[5.,6.]])In[6]:A.dtypeOut[6]:dtype('float64')要檢查ndarray對象的尺寸，您可以使用.shape.例如，要檢查的尺寸A，您可以使用A.shape：
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In[7]:A.shapeOut[7]:(3,2)正如預期的那樣，A矩陣的維度是3×2因為A有三行和兩列。
在處理涉及矩陣的問題時，您通常需要使用轉置操作，它交換矩陣的列和行。
要轉置由ndarray對象表示的向量或矩陣，您可以使用.transpose()或.T。例如，你可以得到的轉A用A.T：
In[8]:A.TOut[8]:array([[1.,3.,5.],[2.,4.,6.]])通過換位，列A變成了行，A.T行變成了列。
要創(chuàng)建向量，您可以使用np.array()，提供包含向量元素的列表：
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In[9]:v=np.array([1,2,3])...:vOut[9]:array([1,2,3])要檢查向量的維度，您可以.shape像以前一樣使用：
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In[10]:v.shapeOut[10]:(3,)請注意，此向量的形狀是(3,)andnot(3,1)or(1,3)。這是一個NumPy功能，適用于那些習慣使用MATLAB的人。在NumPy中，可以創(chuàng)建一維數組，例如v，這在執(zhí)行矩陣和向量之間的操作時可能會導致問題。例如，轉置操作對一維數組沒有影響。
每當您向提供類似一維數組的參數時np.array()，生成的數組將是一維數組。要創(chuàng)建二維數組，您必須提供類似二維數組的參數，例如嵌套列表：
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In[11]:v=np.array([[1,2,3]])...:v.shapeOut[11]:(1,3)在上述例子中，尺寸v是1×3，其對應于一個兩維的線矢量的尺寸。要創(chuàng)建列向量，您可以使用嵌套列表：
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In[12]:v=np.array([[1],[2],[3]])...:v.shapeOut[12]:(3,1)在這種情況下，尺寸v為3×1，其對應于一個兩維列向量的尺寸。
使用嵌套列表創(chuàng)建向量可能很費力，尤其是對于使用最多的列向量。作為替代方案，您可以創(chuàng)建一個一維向量，為提供一個平面列表np.array，并用于.reshape()更改ndarray對象的維度：
In[13]:v=np.array([1,2,3]).reshape(3,1)...:v.shapeOut[13]:(3,1)在上面的示例中，您使用從.reshape()形狀(3,1)為的一維向量獲取形狀的列向量(3,)。值得一提的是，.reshape()期望新數組的元素數與原數組的元素數兼容。換句話說，具有新形狀的數組中的元素數必須等于原始數組中的元素數。
在這個例子中，你也可以在.reshape()不明確定義數組行數的情況下使用：
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In[14]:v=np.array([1,2,3]).reshape(-1,1)...:v.shapeOut[14]:(3,1)在這里，-1您提供的參數.reshape()表示新數組只有一列所需的行數，如第二個參數所。在這種情況下，由于原始數組具有三個元素，因此新數組的行數將為3。
在實際應用中，您經常需要創(chuàng)建零、一或隨機元素的矩陣。為此，NumPy提供了一些方便的函數，接下來您將看到這些函數。
使用便捷函數創(chuàng)建數組
NumPy還提供了一些方便的函數來創(chuàng)建數組。例如，要創(chuàng)建一個填充零的數組，您可以使用np.zeros()：
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In[15]:A=np.zeros((3,2))...:AOut[15]:array([[0.,0.],[0.,0.],[0.,0.]])作為它的個參數，np.zeros()需要一個元組來指示您要創(chuàng)建的數組的形狀，它返回一個類型為的數組float64。
同樣，要創(chuàng)建填充數組，您可以使用np.ones()：
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In[16]:A=np.ones((2,3))...:AOut[16]:array([[1.,1.,1.],[1.,1.,1.]])值得注意的是，np.ones()它還返回一個類型為的數組float64。
要創(chuàng)建具有隨機元素的數組，您可以使用np.random.rand()：
In[17]:A=np.random.rand(3,2)...:AOut[17]:array([[0.8206045,0.],[0.9490381,0.],[0.,0.4709059]])np.random.rand()返回一個包含從0到的隨機元素的數組1，取自均勻分布。請注意，與np.zeros()and不同np.ones()，np.random.rand()它不期望元組作為其參數。
同樣，要從均值和單位方差為零的正態(tài)分布中獲取隨機元素的數組，您可以使用np.random.randn()：
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In[18]:A=np.random.randn(3,2)...:AOut[18]:array([[-1.,-1.],[-0.,-0.],[0.,-2.]])現在您已經創(chuàng)建了數組，您將看到如何使用它們執(zhí)行操作。
對NumPy數組執(zhí)行操作
在數組上使用加法(+)、減法(-)、乘法(*)、除法(/)和指數(**)運算符的常見Python運算始終按元素執(zhí)行。如果操作數之一是標量，則將在標量和數組的每個元素之間執(zhí)行操作。
例如，為了創(chuàng)建填充元素的矩陣等于10，則可以使用np.ones()由和乘法的輸出10使用*：
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In[19]:A=10*np.ones((2,2))...:AOut[19]:array([[10.,10.],[10.,10.]])如果兩個操作數都是相同形狀的數組，則將在數組的對應元素之間執(zhí)行操作：
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In[20]:A=10*np.ones((2,2))...:B=np.array([[2,2],[5,5]])...:C=A*B...:COut[20]:array([[20.,20.],[50.,50.]])在這里，您將matrixA的每個元素乘以matrix的相應元素B。
要根據線性代數規(guī)則執(zhí)行矩陣乘法，您可以使用np.dot()：
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In[21]:A=np.array([[1,2],[3,4]])...:v=np.array([[5],[6]])...:x=np.dot(A,v)...:xOut[21]:array([[17],[39]])
在這里，您乘以一個2×2矩陣A，該矩陣由一個名為的2×1向量命名v。
您可以使用@運算符獲得相同的結果，從PEP465和Python3.5開始，NumPy和本機Python都支持該運算符：
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In[22]:A=np.array([[1,2],[3,4]])...:v=np.array([[5],[6]])...:x=A@v...:xOut[22]:array([[17],[39]])除了處理矩陣和向量的基本操作外，NumPy還提供了一些特定的函數來處理numpy.linalg.但是，對于這些應用程序，它scipy.linalg具有一些優(yōu)勢，您將在下面看到。
比較scipy.linalg用numpy.linalg
NumPy在numpy.linalg模塊中包含一些用于處理線性代數應用程序的工具。但是，除非您不想將SciPy作為依賴項添加到項目中，否則通常使用scipy.linalg，原因如下：
總之，考慮到科學和技術應用一般沒有關于限制的依賴，它通常是一個好主意，安裝SciPy的和使用scipy.linalg代替numpy.linalg。
在下一節(jié)中，您將使用scipy.linalg工具來處理線性系統(tǒng)。您將首先通過一個簡單的示例了解基礎知識，然后將這些概念應用于實際問題。
使用scipy.linalg.solve()求解線性系統(tǒng)
線性系統(tǒng)可以成為解決幾個實際和重要問題的有用工具，包括與車輛交通、平衡化學方程式、電路和多項式插值相關的問題。
在本節(jié)中，您將學習如何使用scipy.linalg.solve()來求解線性系統(tǒng)。但是在開始編寫代碼之前，了解基礎知識很重要。
了解線性系統(tǒng)
甲線性系統(tǒng)，或者更精確地說，線性方程系統(tǒng)，是一組直線與一組變量方程。以下是與變量x?、x?和x?相關的線性系統(tǒng)示例：
這里有涉及三個變量的三個方程。為了有一個線性系統(tǒng)，值??...??和b?...b?必須是常數。
當只有兩個或三個方程和變量時，可以手動執(zhí)行計算、組合方程并找到變量的值。但是，對于四個或更多變量，手動求解線性系統(tǒng)需要相當長的時間，并且經常會出錯。
實際應用通常涉及大量變量，這使得手動求解線性系統(tǒng)是不可行的。幸運的是，有一些工具可以完成這項艱巨的工作，例如scipy.linalg.solve().
使用scipy.linalg.solve()
SciPy提供scipy.linalg.solve()快速且可靠的方式求解線性系統(tǒng)。要了解它是如何工作的，請考慮以下系統(tǒng)：
為了使用scipy.linalg.solve()，您首先需要將線性系統(tǒng)寫為矩陣乘積，如下面的等式所示：
請注意，您將在計算矩陣乘積后得出系統(tǒng)的原始方程。scipy.linalg.solve()期望求解的輸入是matrixA和vectorb，您可以使用NumPy數組定義它們。這樣，您可以使用以下代碼解決系統(tǒng)問題：
>>>
1In[1]:importnumpyasnp2...:fromscipy.linalgimportsolve34In[2]:A=np.array(5...:[6...:[3,2],7...:[2,-1],8...:]9...:)1011In[3]:b=np.array([12,1]).reshape((2,1))1213In[4]:x=solve(A,b)14...:x
15Out[4]:16array([[2.],17[3.]])以下是正在發(fā)生的事情的細分：
如果將原始方程中的x?=2和x?=3替換，則可以驗證這是系統(tǒng)的解。
現在您已經了解了使用的基礎知識scipy.linalg.solve()，是時候了解線性系統(tǒng)的實際應用了。
解決實際問題：BuildingaMealPlan
通常使用線性系統(tǒng)解決的一類問題是當您需要找到獲得某種混合物所需的組件比例時。下面，您將使用這個想法來制定膳食計劃，混合不同的食物以獲得均衡的飲食。
為此python創(chuàng)建矩陣，請考慮均衡飲食應包括以下內容：
你的任務是找出每種不同食物的數量，以獲得數量的維生素。在下表中，您可以根據每種維生素的單位分析1克每種食物的結果：
你的任務是找出每種不同食物的數量，以獲得數量的維生素。在下表中，您可以根據每種維生素的單位分析1克每種食物的結果：
通過將食物1表示為x?等，并考慮到您將混合x?單位的食物1、x2單位的食物2等等，您可以寫出您所攝入的量的表達式d進入組合?？紤]到均衡飲食應包含170個單位的，您??可以使用列中的數據寫出以下等式：
對、C、D和E重復相同的過程，您會得到以下線性系統(tǒng)：
要使用scipy.linalg.solve()，您必須獲得系數矩陣A和獨立項向量b，它們由以下給出：
現在您只需使用scipy.linalg.solve()來找出數量x?,…,x?：
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In[1]:importnumpyasnp...:fromscipy.linalgimportsolveIn[2]:A=np.array(...:[...:[1,9,2,1,1],...:[10,1,2,1,1],...:[1,0,5,1,1],...:[2,1,1,2,9],...:[2,1,2,13,2],...:]...:)In[3]:b=np.array([170,180,140,180,350]).reshape((5,1))In[4]:x=solve(A,b)...:xOut[4]:array([[10.],[10.],[20.],[20.],[10.]])這表明均衡飲食應包括10食物單位1、食物10單位2、20食物20單位3、食物單位4和10食物單位5。
結論
恭喜！您已經學習了如何使用一些線性代數概念以及如何使用scipy.linalg來解決涉及線性系統(tǒng)的問題。您已經看到向量和矩陣可用于表示數據，并且通過使用線性代數概念，您可以對實際問題進行建模并以有效的方式解決它們。
在本教程中，您學習了如何：
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